Азербайджан
Баку
08:53

Армения
Ереван
08:53

Беларусь
Минск
07:53

Казахстан
Нур-Cултан
10:53

Кыргызстан
Бишкек
10:53

Молдова
Кишинев
07:53

Россия
Москва
07:53

Таджикистан
Душанбе
09:53

Туркменистан
Ашхабад
09:53

Узбекистан
Ташкент
09:53

Украина
Киев
07:53

ГЛАВНОЕ МЕНЮ

Главная страница
Сайт Исполкома СНГ
Направления сотрудничества
О Содружестве
Органы СНГ
Выборы и референдумы
Информагентства стран СНГ
Наши партнеры
Контакты





Единый реестр правовых актов и других документов Содружества Независимых Государств

Реестр подписанных международных документов о межрегиональном и приграничном сотрудничестве государств – участников СНГ
Перечень конкурентноспособной продукции государств – участников СНГ


ПОИСК ПО САЙТУ
Создана новая геометрия

Математики из МГУ совместно с иностранными специалистами заложили основы нийенхейсовой геометрии — раздела математики, который тесно связан с интегрируемыми системами, алгеброй, дифференциальной геометрией и математической физикой. Работы (1 и 2), поддержанные грантом РНФ, можно найти на сайте arXiv.org, сейчас они готовятся к публикации в ведущих мировых математических журналах.

В основе современной физики лежит геометрия. Так, например, теория относительности Альберта Эйнштейна связана с псевдоримановой геометрией. В ней информация о геометрической структуре записывается в виде матрицы — заключенных в таблицу элементов объекта, который изучают математики. В такой таблице все элементы имеют два номера — номер строки, где он записан, и номер столбца.

Компоненты, то есть значения элементов таблицы, меняются от точки к точке. Если размерность пространства, например, три (длина, ширина и высота), то размер такой матрицы — три на три, то есть у нее девять параметров. На матрицу накладывается дополнительное условие — симметричность. Это значит, что элементы матрицы, симметричные относительно диагонали, одинаковы. А это, в свою очередь, значит, что количество параметров не девять, а шесть. Свою теорию относительности Альберт Эйнштейн формулировал именно в терминах псевдоримановой геометрии — это ее математический инструментарий. Он объединил пространство и время, получив четырехмерный объект, поэтому матрица у него имеет размер четыре на четыре. В свою очередь, уравнение Эйнштейна описывает гравитацию через компоненты матрицы. Именно его численно решают астрофизики, когда пытаются описать поведение физических объектов в окрестностях черных дыр.

Другая геометрия, которую используют в классической механике и частично в квантовой, называется пуассоновой. Она возникла сначала как инструмент в теории динамических систем. Сейчас ее используют, например, в теории деформационного квантования, за создание которой известный французский математик российского происхождения Максим Концевич получил премию Филдса и дважды премию Миллера (один раз — за физическую часть, другой — как раз за соответствующий математический инструментарий). Эта теория позволяет комплексно подходить к переходу от классической физики к квантовой. Сегодня в этом направлении множество вопросов, которые активно изучаются.

«В своих работах мы обратились к геометрии, где информация о структуре также содержится в матрице. Важное отличие в том, что это за матрица, — объясняет Андрей Коняев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии мехмата МГУ имени М. В. Ломоносова. — Традиционно матрицами в математике записывают три разных объекта — билинейная форма, 2-вектор и оператор. Матрицами их записывают потому, что эти объекты называются тензорами и правильно преобразуются при замене координат. В псевдоримановой геометрии фигурируют билинейная форма, в пуассоновой — 2-вектор, а в новой геометрии, которая получила название нийенхейсовой, речь про операторы».

Представьте себе обычную материю: кусочек скатерти или полотенце. Она состоит из переплетенных нитей. Часть нитей идет, условно, слева направо, а часть — сверху вниз. Если скатерть повидала виды, то на ней есть зацепки, стяжки. Двумерное пространство с оператором Нийенхейса представляет собой что-то похожее — через каждую точку протянуты нити. В этом смысле теорема о расщеплении говорит, как локально устроено плетение нашей «скатерти», а изучение особых точек (теорема о линеаризации) — какие бывают простейшие узелки и зацепки.

На матрицу в нийенхейсовой геометрии тоже наложены некоторые условия, которые были открыты Альбертом Нийенхейсом еще в 50-х годах прошлого века. Несмотря на то, что этот объект был в распоряжении математиков последние 60 лет, он рассматривался как некий вспомогательный инструмент для решения других задач.

Похожая ситуация была в 70-х годах прошлого века, до тех пор, пока нескольким математикам не удалось заложить фундамент пуассоновой геометрии. Этот фундамент — некоторый набор базовых теорем, которые раскрывают богатство структуры и демонстрируют потенциал для ее изучения.

Одним из таких ученых был Алан Вайнштейн. Ему удалось доказать так называемую теорему о расщеплении и заложить основы линеаризации — обе эти математические идеи позже превратились в целые направления.

«В новых работах удалось получить похожие по глубине результаты — теорему о расщеплении для операторов Нийенхейса — а также сформулировать и в некоторых случаях решить проблему линеаризации. В этих же работах мы продемонстрировали глубокие связи полученных результатов с другими областями математики и математической физики», — подводит итог Андрей Коняев.






Главная страница | Сайт Исполкома СНГ | Органы СНГ | Мероприятия СНГ | Направления сотрудничества



Яндекс.Метрика


Push 2 Check check my pagerank
Интернет портал СНГ www.e-cis.info